← Back to Course返回课程

MATH1131 代数笔记MATH1131 Algebra Notes

第一至四周Weeks 1–4

几何向量、点积、叉积与复数Geometric vectors, dot products, cross products, and complex numbers

目录Table of Contents

第一周： 几何向量 (Geometric Vectors)

第二周： 向量几何与点积 (Vector Geometry & Dot Product)

第三周： 正交性、投影与叉积 (Orthogonality, Projections & Cross Product)

第四周： 复数 (Complex Numbers)

Week 1: Geometric vectors

Week 2: Vector geometry & dot products

Week 3: Orthogonality, projections & cross products

Week 4: Complex numbers

Week 1: Geometric Vectors

1. Fundamentals

Geometric vector: an arrow with magnitude and direction. The location of a free vector does not matter.

Equal vectors share the same length and direction.
A scalar is a real number used to scale vectors.

Notation

Boldface $\mathbf{u}$ in print, $\vec{u}$ (arrow) or $\tilde{u}$ (tilde) in handwriting.
$\overrightarrow{AB}$ goes from tail A to head B; $|\mathbf{u}|$ denotes length.

2. Vector operations

2.1 Addition

Use the triangle (tip-to-tail) or parallelogram construction to add vectors.

Identities

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
$(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$
$|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$

2.2 Zero and negative vectors

$\mathbf{0}$ has zero length and acts as the additive identity. Every vector has an opposite $-\mathbf{a}$ with the same magnitude but opposite direction.

Key relations

$\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$
$\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$
$\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{b}+(-\mathbf{a})$

2.3 Scalar multiplication

Scaling by $\lambda$ stretches the length by $|\lambda|$ and reverses direction when $\lambda<0$.

$3\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix}$ triples the magnitude.

3. Component form and lines

Vectors in $\mathbb{R}^n$ are written $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ with standard basis $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$.

A line through $\mathbf{a}$ in direction $\mathbf{v}$ uses the parametric form $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{v}$.

The dot product has algebraic and geometric definitions and satisfies the Cauchy–Schwarz inequality $|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$.

第一周：几何向量 (Geometric Vectors)

1. 向量的基本概念

几何向量 (Geometric Vector): 是一个同时具有大小 (magnitude/length/norm) 和方向 (direction) 的量。你可以把它想象成一个有长度和指向的箭头。

向量的核心在于大小和方向，它的具体位置 (location) 并不重要。
向量相等 (Equal Vectors): 如果两个向量的大小和方向完全相同，那么它们就是相等的向量。
标量 (Scalar): 在线性代数中，一个标量就是一个实数，用来与向量进行区分。

向量的记法:

印刷体中常用粗体字母表示，如 u。
手写时，通常在字母上方加箭头（如 $\vec{u}$）或在下方加波浪线（如 $\tilde{u}$）。
从点A到点B的向量记作 $\overrightarrow{AB}$，其中A是起点/尾部 (tail/initial point)，B是终点/头部 (head/terminal point)。
向量的大小（或长度、模）记作 $|\mathbf{u}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

2. 向量的运算 (Vector Operations)

2.1 向量加法 (Vector Addition)

向量加法有两种等效的几何定义：

三角形法则 (Triangle Law): 将两个向量首尾相接 (tip to tail)。将向量 $\mathbf{b}$ 的尾部移动到向量 $\mathbf{a}$ 的头部，然后从 $\mathbf{a}$ 的尾部画一个向量到 $\mathbf{b}$ 的头部，这个新的向量就是它们的和 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$。
平行四边形法则 (Parallelogram Law): 将两个向量的尾部放在同一点，以这两个向量为邻边构成一个平行四边形。从共同尾部出发的对角线所代表的向量就是它们的和。

加法性质:

交换律 (Commutative): $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
结合律 (Associative): $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$
三角不等式 (Triangle Inequality): $|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$

2.2 零向量 (Zero Vector)

零向量记作 $\mathbf{0}$。它是一个长度为零的向量，并且没有定义方向。
对于任何向量 $\mathbf{a}$，都有 $\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$。

2.3 负向量与向量减法 (Negative of a Vector and Subtraction)

负向量: 对于任意向量 $\mathbf{a}$，其负向量记作 $-\mathbf{a}$。它的大小与 $\mathbf{a}$ 相同，但方向恰好相反。

性质: $\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$
重要关系: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
向量减法: $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{b}+(-\mathbf{a})$

几何上，$\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 是从向量 $\mathbf{a}$ 的头部指向向量 $\mathbf{b}$ 的头部的向量。

2.4 标量乘法 (Scalar Multiplication)

将一个向量 $\mathbf{a}$ 乘以一个标量 $\lambda$，得到一个新的向量 $\lambda\mathbf{a}$。

大小: $|\lambda\mathbf{a}|=|\lambda||\mathbf{a}|$（向量的长度被缩放了 $|\lambda|$ 倍）
方向:

如果 $\lambda>0$，方向与 $\mathbf{a}$ 相同
如果 $\lambda<0$，方向与 $\mathbf{a}$ 相反
如果 $\lambda=0$，结果是零向量 $\mathbf{0}$

3. 平行向量与位置向量

平行向量 (Parallel Vectors): 如果一个向量是另一个非零向量的标量倍数，那么这两个向量是平行的。即 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 平行当且仅当存在标量 $\lambda$ 使得 $\mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}$。

位置向量 (Position Vector): 一个点的位置可以用从原点 (Origin) O 指向该点的向量来描述。点P的位置向量记作 $\overrightarrow{OP}$。

两点间的向量: 连接点A和点B的向量可以用它们的位置向量表示： $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$

第二周：向量几何与点积 (Vector Geometry & Dot Product)

1. 线性组合与生成空间 (Linear Combinations and Span)

线性组合 (Linear Combination): 一个向量 $\mathbf{v}$ 如果可以被表示为一组向量 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_k}$ 的标量倍数之和，那么 $\mathbf{v}$ 就是这组向量的一个线性组合。 $$\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}+...+\lambda_k\mathbf{v_k}$$ 其中 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$ 是标量。

生成空间 (Span): 一组向量的所有可能的线性组合构成的集合，称为这组向量的生成空间。

span($\{\mathbf{v_1}\}$) (单个非零向量) 构成一条穿过原点的直线。
span($\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\}$) (两个不平行的向量) 构成一张穿过原点的平面。

2. 直线与平面的向量方程

2.1 直线的向量方程 (Vector Equation of a Line)

参数向量形式 (Parametric Vector Form): 描述一条直线需要一个点的位置向量 $\mathbf{a}$ 和一个方向向量 $\mathbf{v}$。 $$\mathbf{x}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{v}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ 其中 $\mathbf{x}$ 是直线上任意一点的位置向量，$\lambda$ 是参数。

笛卡尔方程 (Cartesian Equation): 在 $\mathbb{R}^3$ 中，可以写成：$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}=\frac{z-a_3}{v_3}$。这实际上是两个平面的交集。

例: 将参数方程 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ 转换为笛卡尔方程。

从参数方程我们得到：$x=1+\lambda, y=2+3\lambda, z=-5-\lambda$。
将每个方程中的 $\lambda$ 解出来：$\lambda=x-1, \lambda=\frac{y-2}{3}, \lambda=-(z+5)$。
令它们相等，得到笛卡尔方程：$x-1=\frac{y-2}{3}=-(z+5)$。

2.2 平面的向量方程 (Vector Equation of a Plane)

参数向量形式 (Parametric Vector Form): 描述一个平面需要一个点的位置向量 $\mathbf{a}$ 和两个不平行的方向向量 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}$。 $$\mathbf{x}=\mathbf{a}+\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}, \quad \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}$$

笛卡尔方程 (Cartesian Equation): 在 $\mathbb{R}^3$ 中，平面的方程通常写成 $ax+by+cz=d$ 的形式。

3. 标量积 / 点积 (Scalar / Dot Product)

点积是向量乘法的一种，其结果是一个标量。

定义式:

代数定义: 在 $\mathbb{R}^n$ 中，$\mathbf{a}=(a_1,...,a_n)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,...,b_n)$ 的点积是： $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$$
几何定义: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$ 其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角 $(0 \leq \theta \leq \pi)$。

点积的性质:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$
交换律 (Commutative): $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
分配律 (Distributive): $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
与标量乘法结合: $(\lambda\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

应用:

计算向量夹角: $\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
判断向量是否正交: 见下一周内容。

柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality): $$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$$

第三周：正交性、投影与叉积 (Orthogonality, Projections & Cross Product)

1. 正交性 (Orthogonality)

正交 (Orthogonal): 如果两个向量的点积为零，则称它们是正交的。记作 $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$。 $$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$$

垂直 (Perpendicular): 对于两个非零向量，正交意味着它们之间的夹角为 $90°$ (即 $\pi/2$)。
正交集 (Orthogonal Set): 一组向量中，任意两个不同的向量都相互正交。
标准正交集 (Orthonormal Set): 一个正交集，并且其中所有向量都是单位向量 (unit vectors) (长度为1)。

优点: 如果 $\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_k}\}$ 是一个标准正交集，且 $\mathbf{u}=c_1\mathbf{v_1}+...+c_k\mathbf{v_k}$，那么系数可以直接通过点积求出： $$c_i = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v_i}$$

2. 投影 (Projection)

向量 $\mathbf{a}$ 在非零向量 $\mathbf{b}$ 上的投影是一个与 $\mathbf{b}$ 平行的向量，代表了 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的分量。记作 $\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$。

投影公式: $$\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\right)\mathbf{b}$$ 括号内的部分 $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ 是投影的有符号长度。

应用: 求一个点到一条直线的最短距离。
例: 求点 B 到由点 A 和方向向量 $\mathbf{v}$ 定义的直线的距离。

构造向量 $\overrightarrow{AB}$。
计算 $\overrightarrow{AB}$ 在方向向量 $\mathbf{v}$ 上的投影 $\text{proj}_{\mathbf{v}}\overrightarrow{AB}$。
求出垂直分量向量 $\mathbf{w} = \overrightarrow{AB} - \text{proj}_{\mathbf{v}}\overrightarrow{AB}$。
最短距离就是垂直分量向量的长度 $|\mathbf{w}|$。

3. 向量积 / 叉积 (Vector / Cross Product)

叉积仅在 $\mathbb{R}^3$ 中有定义，其结果是一个向量。

定义: 设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$。 $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$$

助记法 (Determinant Mnemonic): $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a_2b_3-a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3-a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2-a_2b_1)$$

叉积的性质:

几何性质: $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 是一个同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量。
方向: 其方向由右手定则 (Right-Hand Rule) 决定。
大小 (Magnitude): $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$。这个值等于由 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 作为邻边构成的平行四边形的面积。
代数性质:
- 反交换律 (Anti-commutative): $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$
- 非结合律 (Not Associative): $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
- 如果 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$。

4. 标量三重积与平面方程

标量三重积 (Scalar Triple Product):

表达式: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
几何意义: 其绝对值 $|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$ 是由向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 作为三个邻边构成的平行六面体 (parallelepiped) 的体积。
共面 (Coplanar): 如果三个向量的标量三重积为零，则这三个向量共面。

计算: 可以通过计算一个 $3 \times 3$ 行列式得到： $$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$

平面的点法式方程 (Point-Normal Form of a Plane): 一个平面可以由其上一个点 A (位置向量为 $\mathbf{a}$) 和一个垂直于该平面的法向量 (normal vector) $\mathbf{n}$ 唯一确定。
方程为：$$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$$ 如果 $\mathbf{n}=(a,b,c)$，展开后即得到笛卡尔方程 $ax+by+cz=d$。这里的系数 $(a,b,c)$ 就是法向量的坐标。

第四周：复数 (Complex Numbers)

1. 数系的拓展与复数

为了解更复杂的方程，人类不断拓展数的概念：

$x+5=3 \Rightarrow$ 需要整数 $\mathbb{Z}$ (Integers)。
$3x=5 \Rightarrow$ 需要有理数 $\mathbb{Q}$ (Rational Numbers)。
$x^2=2 \Rightarrow$ 需要实数 $\mathbb{R}$ (Real Numbers)。
$x^2=-1 \Rightarrow$ 需要复数 $\mathbb{C}$ (Complex Numbers)。

域 (Field): 一个集合，带有加法和乘法运算，并满足一系列公理（如交换律、结合律、分配律，存在0和1，存在加法逆元和乘法逆元）。$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 都是域。

虚数单位 (Imaginary Unit): 定义 $i$ 为一个数，使其满足： $$i^2 = -1$$

复数: 一个复数的形式为 $z = a + bi$，其中 $a,b$ 是实数。

$a$ 称为实部 (real part)，记作 $\text{Re}(z)$。
$b$ 称为虚部 (imaginary part)，记作 $\text{Im}(z)$。

2. 复数的代数运算

复数运算时，可以把 $i$ 当作一个变量，但要随时记住 $i^2 = -1$。

加减法: $$(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$ (实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)

乘法: $$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$$

例: $(3+2i)(5-4i) = 15-12i+10i-8i^2 = 15-2i-8(-1) = 23-2i$

3. 解二次方程

引入复数后，所有系数为实数的二次方程 $az^2+bz+c=0$ 都有解。

例: 解方程 $z^2+2z+3=0$。
使用求根公式 $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$
$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i$
所以解为 $z_1 = -1 + \sqrt{2}i$ 和 $z_2 = -1 - \sqrt{2}i$。

4. 复平面、模与共轭

复平面 (Complex Plane / Argand Diagram): 用一个平面来表示复数。水平轴是实轴 (real axis)，代表实部；垂直轴是虚轴 (imaginary axis)，代表虚部。复数 $z=a+bi$ 对应于平面上的点 $(a,b)$。

模 (Modulus): 复数 $z=a+bi$ 的模记作 $|z|$，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。 $$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$$

共轭 (Conjugate): 复数 $z=a+bi$ 的共轭记作 $\overline{z}$。 $$\overline{z} = a-bi$$ 几何上，$\overline{z}$ 是 $z$ 关于实轴的对称点。

复数除法 (Division): 计算复数除法的技巧是，将分子 (numerator) 和分母 (denominator) 同时乘以分母的共轭复数，从而使分母变为实数。 $$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$

例: 计算 $\frac{1-2i}{3+2i}$。
$\frac{1-2i}{3+2i} = \frac{(1-2i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{3-2i-6i+4i^2}{9+4} = \frac{3-8i-4}{13} = \frac{-1-8i}{13} = -\frac{1}{13} - \frac{8}{13}i$

5. 模与共轭的性质

对于复数 $z,w$:

$z + \overline{z} = 2\text{Re}(z)$
$z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z)$
$z\overline{z} = |z|^2$ (这是一个非常有用的性质)
$\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
$\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}$
$|zw| = |z||w|$
$\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$
三角不等式 (Triangle Inequality): $|z+w| \leq |z|+|w|$

6. 复数的极坐标与指数形式

极坐标形式 (Polar Form): 一个非零复数 $z=a+bi$ 也可以用它的大小（模）$r$ 和它与正实轴的夹角 $\theta$ 来表示。 $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

$r = |z|$ 是模。
$\theta$ 称为辐角 (argument)，记作 $\arg(z)$。辐角不是唯一的，可以相差 $2\pi$ 的整数倍。
主辐角 (Principal Argument)，记作 $\text{Arg}(z)$，是唯一的辐角，满足 $-\pi < \text{Arg}(z) \leq \pi$。

例: 将 $z = 1 + \sqrt{3}i$ 转换为极坐标形式。

计算模: $r = |z| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$。
计算辐角: $\cos\theta = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}$ 且 $\sin\theta = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。满足条件的 $\theta$ 是 $\frac{\pi}{3}$。
所以极坐标形式为: $z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$。

欧拉公式 (Euler's Formula): 这是连接复指数和三角函数的桥梁。 $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

指数形式 (Exponential Form): 结合极坐标形式和欧拉公式，得到复数的指数形式。 $$z = re^{i\theta}$$ 对于上面的例子，$z = 1 + \sqrt{3}i$ 的指数形式为 $z = 2e^{i\pi/3}$。

乘法与除法的几何意义: 在指数形式下，复数的乘除法变得非常直观。

乘法: 模相乘，辐角相加。 $$z_1z_2 = (r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2}) = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$
除法: 模相除，辐角相减。 $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$

7. 重点回顾

核心公式回顾:

两点间向量: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$
直线方程 (参数式): $\mathbf{x} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{v}$
平面方程 (参数式): $\mathbf{x} = \mathbf{a} + \lambda_1\mathbf{v_1} + \lambda_2\mathbf{v_2}$
点积: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots$
投影: $\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\right)\mathbf{b}$
叉积 (仅 $\mathbb{R}^3$): $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$
平行四边形面积: Area $= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$
标量三重积 (体积): Volume $= |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$
平面方程 (点法式): $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$
复数共轭: $z = a + bi \Rightarrow \overline{z} = a - bi$
复数模: $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$, $z\overline{z} = |z|^2$
欧拉公式: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
复数指数形式: $z = re^{i\theta}$