涵盖矩阵代数、微积分应用、线性方程组、反常积分等核心知识点
基于Notion笔记整理的完整解题策略与方法总结
掌握矩阵运算的基本性质，熟练运用逆矩阵、单位矩阵和转置的代数性质
$$C^{-1}C(BA^T)^TA^{-1}$$
矩阵乘法不满足交换律：$$AB \neq BA$$
$$C^{-1}C = I$$
逆矩阵性质应用
$$I(BA^T)^TA^{-1} = (BA^T)^TA^{-1}$$
单位矩阵消除
$$(BA^T)^T = (A^T)^TB^T$$
转置顺序颠倒
$$(A^T)^T = A$$
双重转置还原
$$AB^TA^{-1}$$
Maple语法： A.BT.Ainv
利用中值定理建立函数值之间的关系，通过导数的边界条件求解函数的下界
条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导
结论：存在 $c \in (a,b)$ 使得
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
目标：证明 $f(34) \geq -67$
选择区间 $[34, 35]$ 连接已知点和目标点
存在 $c \in (34, 35)$ 使得：
$$f'(c) = \frac{f(35) - f(34)}{35 - 34} = f(35) - f(34)$$
$$f(34) = f(35) - f'(c) = 1 - f'(c)$$
由 $f'(c) \leq 68$ 得：$-f'(c) \geq -68$
因此：$1 - f'(c) \geq 1 - 68 = -67$
$$f(34) \geq -67$$
分析参数对线性方程组解的影响，掌握高斯消元法和解的性质判断方法
出现形如 $[0,0,\ldots,0,|,k]$ 且 $k \neq 0$ 的行
每个变量都有对应的主元，无自由变量
存在自由变量，系统一致
题目给出的Maple计算步骤包含除法操作，需要检查分母为零的情况：
特殊值 $m = 0.5$ 和 $m = 1$ 必须单独分析！
最后一行方程：$(2m + 3)z = m^2 - 6m + 11$
| 解的类型 | 条件 | 参数值 |
|---|---|---|
| 无解 | $2m + 3 = 0$ 且 $m^2 - 6m + 11 \neq 0$ | $m = -1.5$ |
| 唯一解 | $2m + 3 \neq 0$ | $m \neq -1.5$ |
| 无穷解 | 不存在 | — |
$x + y + z = -1$
$2x + y + 4z = -1$
令 $z = \lambda$（自由参数）
$x + y = -1 - \lambda$
$2x + y = -1 - 4\lambda$
消元得：$x = -3\lambda$，$y = -1 + 2\lambda$
$$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}$$
答案： $\mathbf{a} = \langle 0, -1, 0 \rangle$， $\mathbf{v} = \langle -3, 2, 1 \rangle$
运用比较判别法和p-判别法判断反常积分的收敛性
对于 $\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$：
$$\int_4^{\infty} \frac{\cos(x) + 5}{x - 3} dx$$
要证明发散，需找到更小的发散函数 $g(x)$
为使分数变小："分子取最小，分母取最大"
构造：$g(x) = \frac{4}{x}$
$g(x) = \frac{4}{x^1}$，其中 $a = 4$，$p = 1$
由p-判别法：$p = 1 \leq 1$，所以 $\int g(x) dx$ 发散
因此原积分发散
分析复数的几何性质，运用共轭根定理确定实系数多项式的最小次数
$$w_k = 4e^{i \cdot 2\pi k/8}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 7$$
实系数多项式的非实根必须成对出现
示例：$(w - w_2)(w - w_6) = (w - 4i)(w + 4i) = w^2 + 16$
$w_2$ 和 $w_6$ 是共轭对，所以系数为实数
已知：$$q(w) = (w-w_0)^7(w-w_1)^3(w-w_2)^4(w-w_3)^7(w-w_4)^5(w-w_5)^9(w-w_6)^5(w-w_7)^3$$
求：实系数多项式 $r(w)$ 能被 $q(w)$ 整除的最小次数
$r(w)$ 中每个根的重数 $\geq$ 它在 $q(w)$ 中的重数
共轭对 $w_k$ 和 $w_{8-k}$ 在 $r(w)$ 中的重数必须相等
取满足前两条规则的最小值
| 根 | 类型 | $q(w)$ 中重数 | $r(w)$ 中重数 | 计算规则 |
|---|---|---|---|---|
| $w_0$ | 实数根 | 7 | 7 | 取原值 |
| $w_4$ | 实数根 | 5 | 5 | 取原值 |
| $w_1, w_7$ | 共轭对 | 3, 3 | 3 | $\max(3,3) = 3$ |
| $w_2, w_6$ | 共轭对 | 4, 5 | 5 | $\max(4,5) = 5$ |
| $w_3, w_5$ | 共轭对 | 7, 9 | 9 | $\max(7,9) = 9$ |
$7 + 5 + 3 + 5 + 9 + 9 + 5 + 3 = 46$
最小次数：46
掌握极坐标方程中的缩放、旋转和反射变换规则
$r = c \cdot f(\theta)$
$r = f(\theta \pm \alpha)$
变换的应用顺序
原方程：$r = f(\theta)$
新方程：$r = \frac{1}{2}f(\theta + \frac{\pi}{5})$
系数 $\frac{1}{2}$ → 图像缩小到原来的一半
$\theta + \frac{\pi}{5}$ → 顺时针旋转 $\frac{\pi}{5}$（约36°）
原方程：$r = \frac{1}{2}f(\theta + \frac{\pi}{5})$
反射规则：关于y轴反射需要 $\theta \to \pi - \theta$
$r = \frac{1}{2}f((\pi - \theta) + \frac{\pi}{5})$
$r = \frac{1}{2}f(\pi - \theta + \frac{\pi}{5})$
计算在单点不连续的分段函数的上、下黎曼和
$$\overline{S}_{P_n} = \sum_{k=1}^{n} M_k \cdot \Delta x$$
$M_k$ 是第 $k$ 个子区间上的最大值
$$\underline{S}_{P_n} = \sum_{k=1}^{n} m_k \cdot \Delta x$$
$m_k$ 是第 $k$ 个子区间上的最小值
$$g(x) = \begin{cases} -4 & \text{当 } x \neq 8 \\ -5 & \text{当 } x = 8 \end{cases}$$
所有子区间的函数值只能是-4或-5
因为 $-4 > -5$，所以所有子区间的最大值都是 $-4$
$$\overline{S}_{P_n} = n \times (-4) \times \frac{1}{n} = -4$$
前 $n-1$ 个子区间：
不包含 $x=8$，函数值恒为-4，最小值 = -4
贡献：$(n-1) \times (-4) \times \frac{1}{n} = \frac{-4n+4}{n}$
最后一个子区间：
包含 $x=8$，函数值有-4和-5，最小值 = -5
贡献：$1 \times (-5) \times \frac{1}{n} = \frac{-5}{n}$
$$\underline{S}_{P_n} = \frac{-4n+4}{n} + \frac{-5}{n} = \frac{-4n-1}{n}$$
$$g(x) = \begin{cases} 5 & \text{当 } x = 3 \\ 2 & \text{当 } x \neq 3 \end{cases}$$
区间：$[2, 3]$，已知：$\underline{S}_{P_n} = 2$
所有子区间的最小值都是2（因为 $2 < 5$）
$$\underline{S}_{P_n} = n \times 2 \times \frac{1}{n} = 2$$ ✓
不包含 $x=3$，最大值 = 2
贡献：$(n-1) \times 2 \times \frac{1}{n} = \frac{2n-2}{n}$
包含 $x=3$，最大值 = 5
贡献：$1 \times 5 \times \frac{1}{n} = \frac{5}{n}$
$$\overline{S}_{P_n} = \frac{2n-2}{n} + \frac{5}{n} = \frac{2n+3}{n} = 2 + \frac{3}{n}$$