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MATH1131 Final Review（增强版）

同步 Notion 最新内容 · 重点强化第8-15题 · 全面覆盖基础知识点

📋 同步来源：Notion Final Review 更新稿 | 📅 版本：2025-01-02 | 🎯 重点：第8-15题强化更新

术语映射表 (Terminology Mapping)

导数 → Derivative
链式法则 → Chain Rule
收敛 → Convergence
特征值 → Eigenvalue
行列式 → Determinant
矩阵乘法 → Matrix Multiplication
极坐标 → Polar Coordinates
法向量 → Normal Vector
简化行阶梯形 → RREF
微积分基本定理 → FTC
介值定理 → IVT
高斯消元 → Gaussian Elimination

📑 目录导航

1. 矩阵乘法：元素级点积计算 2. 函数分析：导数、值域、反函数 3. 极坐标：最值与象限分析 4. 向量与平面：法向量与距离 5. 矩阵代数：RREF与可逆性 6. 线性系统：解的存在性 7. 微积分基本定理：积分函数 8-15题详解：重点更新

1. 矩阵乘法：元素级点积计算 (Matrix Multiplication)

🎯 直观理解

矩阵乘法 $C = AB$ 的本质是将 $A$ 的每一行与 $B$ 的每一列进行点积运算。结果矩阵的每个元素 $C_{ij}$ 独立计算，仅依赖于特定的行和列。

核心公式
$$C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj} = A_{\text{第}i\text{行}} \cdot B_{\text{第}j\text{列}}$$
前提：$A$ 的列数等于 $B$ 的行数（内维匹配）
🔧 解题策略
  1. 识别目标：明确要求的元素位置 $(i,j)$
  2. 提取向量：从 $A$ 提取第 $i$ 行，从 $B$ 提取第 $j$ 列
  3. 点积计算：对应元素相乘后求和
  4. 验证检查：确认维数匹配和计算正确性
Matrix A 第1行 第4行: [7,2,3,6,6] 第n行 Matrix B 第1列 ... 第5列 [8,5,6,7,9]ᵀ Result C₄,₅ = 180 计算过程：7×8 + 2×5 + 3×6 + 6×7 + 6×9 = 56+10+18+42+54 = 180
⚠️ 常见误区
  • 维数错误：忘记检查内维匹配（$A$ 的列数 = $B$ 的行数）
  • 索引混淆：将行索引和列索引颠倒
  • 计算错误：点积求和时遗漏某项或符号错误

2. 函数分析：导数、值域、反函数 (Function Analysis)

🎯 直观理解

对复合函数 $f(x) = e^{(3x+1)^2} + (3x+1)^2$ 的全面分析包括求导（链式法则）、找临界点、确定值域、求反函数存在区间以及解相关方程。

链式法则
设 $u = 3x + 1$，则：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{u^2} + u^2] = e^{u^2} \cdot 2u \cdot 3 + 2u \cdot 3 = 6u(e^{u^2} + 1) = 6(3x+1)(e^{(3x+1)^2} + 1)$$
更新 关键分析步骤：
  1. 临界点：$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$
  2. 二阶导数测试：$x = -\frac{1}{3}$ 为极小值点
  3. 值域分析：最小值 $f(-\frac{1}{3}) = e^0 + 0 = 1$
  4. 反函数区间：在 $(-\frac{1}{3}, +\infty)$ 上严格单调递增
x f(x) 极小值 (−1/3, 1) x = −1/3 f'(x) < 0 递减 f'(x) > 0 递增 反函数存在区间
🔧 解题要点
导数计算：
  • 识别复合结构
  • 应用链式法则
  • 因式分解简化
值域确定：
  • 找所有临界点
  • 比较端点值
  • 考虑开闭性
反函数条件：
  • 确保严格单调
  • 选择最大区间
  • 包含指定点

3. 极坐标：最值与象限分析 (Polar Coordinates)

🎯 直观理解

极坐标中，点 $(r, \theta)$ 到原点的距离为 $|r|$，到坐标轴的距离通过 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ 计算。优化问题通常涉及在特定象限内最大化或最小化某个量。

坐标转换
$$\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \quad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{cases}$$
重点 曲线 $r = \frac{10}{2+\cos\theta}$ 分析：
第二象限离 x 轴最远点：
  1. 目标：最大化 $y = r\sin\theta = \frac{10\sin\theta}{2+\cos\theta}$
  2. 约束：$\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$（第二象限）
  3. 求导：$\frac{dy}{d\theta} = \frac{10(2\cos\theta + 1)}{(2+\cos\theta)^2} = 0$
  4. 解得：$\cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3}$
  5. 最大值：$y_{\max} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$
x y O I II III IV 最远点 y = 10√3/3 θ = 2π/3 到x轴距离
🔧 解题策略
最值问题：
  1. 明确目标函数（$r$, $x$, $y$）
  2. 确定约束条件（象限、区间）
  3. 求导并找临界点
  4. 比较端点和临界点
常见目标：
  • 离原点最远/近：优化 $r$
  • 离x轴最远：优化 $|y|$
  • 离y轴最远：优化 $|x|$
  • 特定象限：添加角度约束

4. 向量与平面：法向量与距离 (Vectors & Planes)

🎯 直观理解

平面可由三个不共线的点确定，其法向量通过叉积计算。点到平面的距离利用向量投影原理，点的侧别通过点积符号判断。

核心公式集
法向量： $\boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
点在平面上： $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$
点到平面距离： $d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$
面积关系： $\text{Area}_{ABC} = \frac{1}{2}|\boldsymbol{n}|$
关键 已知面积求距离：

若 $\text{Area}_{ABC} = \frac{\sqrt{29}}{2}$，则 $|\boldsymbol{n}| = 2 \times \frac{\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}$

对于点积值为 $-12$ 的点：$d = \frac{|-12|}{\sqrt{29}} = \frac{12}{\sqrt{29}}$

平面 π A B C n P AP 距离 d P₁ 同侧 P₂ 异侧 侧别判断：sgn(AP₁·n) = sgn(AP₂·n) ⟹ 同侧
🔧 解题流程
计算法向量：
  1. 选择平面上三点 A, B, C
  2. 计算 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$
  3. 求叉积得法向量
  4. 验证：任一平面上点的点积为0
距离与侧别：
  1. 计算 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}$
  2. 距离：取绝对值除以 $|\boldsymbol{n}|$
  3. 侧别：比较点积符号
  4. 特殊：已知面积可反推 $|\boldsymbol{n}|$
🧮 介值定理应用

连续曲线与平面相交：若曲线 $R(t)$ 连续，且端点在平面两侧，则必存在 $t = c$ 使得 $R(c)$ 在平面上。

证明思路：定义 $f(t) = \overrightarrow{AR(t)} \cdot \boldsymbol{n}$，由连续性和介值定理，存在 $c$ 使 $f(c) = 0$。

5. 矩阵代数：RREF与可逆性 (Matrix Algebra)

🎯 直观理解

简化行阶梯形（RREF）是矩阵的标准形式，通过Gauss-Jordan消元获得。矩阵可逆性与行列式非零等价，具有重要的代数性质。

关键性质
逆的转置： $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
行列式性质： $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
可逆条件： $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$
RREF目标：主元为1，主元列其他元素为0
应用 复合矩阵可逆性：

问题：若 $\det(C) \neq 0$，$AC$ 不可逆的充要条件是什么？

分析：$\det(AC) = \det(A)\det(C) = 0 \Rightarrow \det(A) = 0$（因为$\det(C) \neq 0$）

结论：$AC$ 不可逆当且仅当 $\det(A) = 0$

原矩阵 A 2 1 3 1 0 2 0 1 1 行操作 RREF 1 0 0 0 1 0 0 0 1 同时对单位矩阵 A⁻¹ a b c d e f g h i 性质验证： • (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ • det(A) ≠ 0 ⟺ A可逆
🔧 RREF构造步骤
  1. 行消元：将第一列第一个非零元素变为1（主元）
  2. 列清零：将主元列的其他元素变为0
  3. 移至下行：对剩余子矩阵重复上述过程
  4. 最终检查：确保每个主元为1，且主元列其他元素为0

6. 线性系统：解的存在性 (Linear Systems)

🎯 直观理解

线性方程组 $Ax = b$ 的解的情况完全由其增广矩阵的行阶梯形决定。关键是识别矛盾行和自由变量的存在。

解的分类
无解：存在行 $[0 \cdots 0 \mid c \neq 0]$
唯一解：主元数 = 变量数，且系统一致
无穷解：主元数 < 变量数，且系统一致
几何解释：3D中，一个线性方程表示一个平面
分析 参数方程组：

系统：$Ax = e_3$，其中矩阵含参数 $m$

临界行：$[0 \quad 0 \quad m(m+3) \mid m+3]$

$m = 0$：$[0 \quad 0 \quad 0 \mid 3] \Rightarrow$ 无解
$m = -3$：$[0 \quad 0 \quad 0 \mid 0] \Rightarrow$ 无穷解
$m \neq 0, -3$：主元非零 $\Rightarrow$ 唯一解
无解 [ 1 2 | 3 ] [ 0 0 | 1 ] ← 矛盾 唯一解 [ 1 0 | 2 ] [ 0 1 | 3 ] 无穷解 [ 1 2 | 3 ] [ 0 0 | 0 ] ← 自由变量 几何解释（3D空间）： 唯一交点 方程1: x + 2y + 4z = 45 每个方程表示一个平面 解 = 平面的交集
🔧 系统分析流程
矩阵操作：
  1. 构造增广矩阵 $[A|b]$
  2. 执行行操作至REF/RREF
  3. 识别主元位置
  4. 检查矛盾行
解的判定：
  1. 有矛盾行？→ 无解
  2. 主元数 = 变量数？→ 唯一解
  3. 主元数 < 变量数？→ 无穷解
  4. 参数讨论：分情况分析

7. 微积分基本定理：积分函数 (Fundamental Theorem of Calculus)

🎯 直观理解

微积分基本定理建立了导数与积分的联系。对于积分函数 $G(x) = \int_a^x g(t)dt$，有 $G'(x) = g(x)$。面积解释：$G(x)$ 表示曲线下的代数面积。

基本定理
FTC I：若 $G(x) = \int_a^x g(t)dt$，则 $G'(x) = g(x)$
面积计算：$\int_a^b g(t)dt = $ 上方面积 $-$ 下方面积
换限规则：$\int_a^b f(t)dt = -\int_b^a f(t)dt$
重点 积分函数的极值：

给定：$G(x) = \int_1^x g(t)dt$，$g(x)$ 在 $[-1,6]$ 连续

关键值：
  • $G(-1) = -6$（三角形面积，换限变号）
  • $G(6) = 1.5$（分段计算几何面积）
  • $G(\frac{10}{3}) = \frac{25}{6}$（临界点处的值）
全局最大值：在 $x = \frac{10}{3}$ 处取得
t g(t) g(t) t=1 t=10/3 t=6 正面积 负面积 x G(x) G(x) 最大值
🔧 面积计算策略
几何面积：
  • 三角形：$\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$
  • 矩形：$\text{长} \times \text{宽}$
  • 梯形：$\frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$
  • 上方为正，下方为负
极值寻找：
  • 找临界点：$G'(x) = g(x) = 0$
  • 比较端点值
  • 确定全局最值
  • 注意开闭区间边界

8. 第8题：行列式与可逆性 (Determinant & Invertibility)

🎯 直观理解

矩阵乘积的可逆性由各个因子的行列式决定。当已知某个因子可逆时，整体不可逆的条件完全由其他因子决定。

关键公式
$$\det(AC) = \det(A) \cdot \det(C)$$
矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积
🔧 解题策略
  1. 识别已知条件：$\det(C) \neq 0$ 意味着 $C$ 可逆
  2. 应用行列式性质：$\det(AC) = \det(A) \cdot \det(C)$
  3. 分析不可逆条件：$AC$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $\det(AC) = 0$
  4. 逻辑推导：因为 $\det(C) \neq 0$，所以必须 $\det(A) = 0$
⚠️ 常见误区
  • 忽略已知条件：忘记 $\det(C) \neq 0$ 这一关键信息
  • 条件方向混淆：充分必要条件的逻辑关系理解错误
  • 行列式计算错误：误认为需要具体计算行列式值

9. 第9题：复合函数方程 (Composite Function Equations)

🎯 直观理解

通过巧妙的变量替换，将复杂的复合函数方程转化为简单的单调函数方程，利用单调性确保解的唯一性。

换元策略
设 $u = (3x+1)^2 \geq 0$，原方程变为：
$$e^u + u = e^1 + 1$$
关键是识别复合函数的重复结构
🔧 解题步骤
  1. 结构识别：观察 $(3x+1)^2$ 在方程中重复出现
  2. 换元简化：令 $u = (3x+1)^2$，方程变为 $e^u + u = e + 1$
  3. 单调性分析：$f(u) = e^u + u$，$f'(u) = e^u + 1 > 0$
  4. 解的确定：$f(u) = f(1) \Rightarrow u = 1$
  5. 回代求解：$(3x+1)^2 = 1 \Rightarrow 3x+1 = \pm 1$
  6. 最终答案：$x = 0$ 或 $x = -\frac{2}{3}$
u f(u) f(u) = e^u + u u = 1 e+1 严格单调递增：f'(u) = e^u + 1 > 0
⚠️ 常见误区
  • 换元不彻底：没有完全识别重复的复合结构
  • 忘记平方根：从 $(3x+1)^2 = 1$ 忘记考虑 $\pm 1$ 两种情况
  • 单调性判断：没有利用函数单调性确保解的唯一性

10. 第10题：极坐标基础 (Polar Coordinates Basics)

🎯 直观理解

极坐标系统用距离和角度来描述点的位置，其中 $r$ 直接表示点到原点的距离，这是极坐标的核心概念。

基本定义
对于极坐标点 $P(r, \theta)$：
$$|OP| = |r|$$
$r$ 的符号决定点在角度 $\theta$ 或 $\theta + \pi$ 方向上
🔧 符号约定
  • $r > 0$：点在角 $\theta$ 的方向上
  • $r < 0$：点在角 $\theta + \pi$ 的方向上（相反方向）
  • $r = 0$：点在原点，角度无意义
O P(r,θ) r>0 r θ Q(-r,θ) r<0 |r| r 的几何意义：点到原点的距离 符号决定方向：正值在 θ 方向，负值在 θ+π 方向
⚠️ 常见误区
  • 符号混淆：认为 $r$ 必须为正数
  • 距离概念：混淆 $r$ 与到坐标轴的距离
  • 方向理解：不理解负 $r$ 的几何意义

第11题：平面侧别判断

Notion题11
题面

如何判断点 $P_1, P_3$ 是否在平面 $\Pi$ 的同一侧？

判断方法
  1. 计算点积： $$d_1 = \overrightarrow{AP_1} \cdot \boldsymbol{n}, \quad d_3 = \overrightarrow{AP_3} \cdot \boldsymbol{n}$$
  2. 比较符号：
    • $\text{sgn}(d_1) = \text{sgn}(d_3)$ → 同一侧
    • $\text{sgn}(d_1) \neq \text{sgn}(d_3)$ → 不同侧
  3. 特殊情况：若某个点积为0，则该点在平面上
答案：比较点积符号
几何直观

点积的符号反映了向量与法向量的夹角：同侧点的向量与法向量夹角同为锐角或钝角。

第12题：Gauss-Jordan消元

Notion题12
题面

高斯-若尔当消元法 (Gauss-Jordan) 的目标是得到什么矩阵？

RREF定义

目标：简化行阶梯形 (Reduced Row Echelon Form, RREF)

RREF的特征：
  1. 每个非零行的第一个非零元素（主元）为1
  2. 主元所在列的其他元素全为0
  3. 每行主元位置严格向右递增
  4. 全零行位于矩阵底部
答案：简化行阶梯形 (RREF)
原矩阵 2 4 6 8 1 2 3 5 3 6 9 7 Gauss-Jordan RREF 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 主元位置：(1,1) 和 (2,4)，其列的其他元素为0

第13题：矩阵逆的转置

Notion题13
题面

矩阵 $(A^T)^{-1}$ 等于？

重要性质证明

结论：$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

证明思路：
  1. 由 $AA^{-1} = I$ 开始
  2. 两边同时取转置：$(AA^{-1})^T = I^T$
  3. 利用转置性质：$(A^{-1})^T (A^T) = I$
  4. 由逆的唯一性：$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
答案：$(A^{-1})^T$
记忆技巧

"逆的转置 = 转置的逆"，操作顺序可以交换。

第14题：系统一致性

Notion题14
题面

线性方程组 $Ax = b$ 无解的充要条件是在其增广矩阵的行阶梯形中出现？

无解特征

关键行模式：$[0 \quad 0 \quad \cdots \quad 0 \mid c \neq 0]$

解释：
  • 左侧全零表示没有变量
  • 右侧非零表示方程为 $0 = c$ （矛盾）
  • 这样的方程显然无解
答案：形如 $[0 \cdots 0 \mid c \neq 0]$ 的行
增广矩阵行阶梯形 [ 1 2 3 | 5 ] [ 0 1 2 | -1 ] [ 0 0 0 | 7 ] ← 矛盾行 矛盾：0 = 7 系统无解

第15题：几何解释

Notion题15
题面

三维空间中，方程 $x + 2y + 4z = 45$ 的几何解释是？

几何意义

答案：一个平面

一般性理解：
  • 形如 $ax + by + cz = d$ 的方程表示3D空间中的平面
  • 系数 $(a,b,c)$ 构成平面的法向量
  • 常数 $d$ 决定平面与原点的距离
本题分析：
  • 法向量：$\boldsymbol{n} = (1, 2, 4)$
  • 该平面不过原点（$d = 45 \neq 0$）
x y z x+2y+4z=45 n=(1,2,4) 每个线性方程在3D空间中表示一个平面

📝 更新日志

2025年8月13日 同步更新
🎯 覆盖知识点清单
✅ 矩阵乘法
✅ 复合函数求导
✅ 极坐标系统
✅ 向量与平面
✅ 行列式性质
✅ 线性系统解法
✅ RREF构造
✅ 可逆性判定
✅ 微积分基本定理
✅ 几何解释
✅ 介值定理应用
✅ 参数方程讨论
📚 学习建议
  1. 结合练习：本笔记与配套的50题测验相互对照学习
  2. 概念图示：重点关注SVG图示，建立几何直观
  3. 易错提醒：每个模块的"易错点"部分需特别注意
  4. 公式记忆：利用术语映射表强化中英文对照记忆