$A=\{S_0,\dots,S_{15}\}$，所以 $|A|=16$。
$B=\bigcup_{n=0}^{15} S_n$：最小下界是 $1000-15=985$，最大上界是 $1326+15=1341$。故 $|B| = (1341-985)+1=357$。（*注：数值已根据更合理的区间定义调整*）
$D=\bigcap_{n=0}^{15} S_n$：最大下界是 $1000-0=1000$，最小上界是 $1326+0=1326$。故 $|D| = (1326-1000)+1=327$。
$E$ 是“所有子集”中的空集，故 $E=\varnothing,\ |E|=0$。

2. 函数计数（从大小 m 到大小 n）

设定义域 $A$，$|A|=m$；陪域 $B$，$|B|=n$。

所有函数 $f: A \to B$： $n^m$。
单射 (Injective / one-to-one)： 条件 m <= n，计数 $P(n,m)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$。
满射 (Surjective / onto)： 条件 m >= n。若不满足，计数为 0。若满足，用容斥原理计数。
双射 (Bijective)： 条件 m = n，计数 m!。

例题：从 $A=\{1,2,3\}$ ($m=3$) 到 $B=\{a,b,c,d\}$ ($n=4$) 的函数。

所有函数： $4^3=64$。每个 $A$ 中元素可映到 $B$ 中4个不同元素。
单射： $m=3 \le n=4$，存在。$P(4,3) = \frac{4!}{1!} = 24$。
满射： $m=3 < n=4$，不存在，计数为0。
双射： $m\ne n$，不存在，计数为0。

3. 英文句式 → 逻辑式

核心等价： $A\to B \equiv \neg A\lor B$。这是所有逻辑翻译的基石。

否定 (Negation)： $\neg(A\to B) \equiv A \land \neg B$ (箭头变AND，后面取反)。

分组与推导：

英文句式	逻辑式	推导
if P, then Q P only if Q Q if P	$P\to Q$	标准蕴含
if Q, then P P or not Q	$Q\to P$	$Q\to P \equiv \neg Q \lor P$
if not Q, then P P or Q	$P\lor Q$	$\neg Q\to P \equiv \neg(\neg Q)\lor P \equiv Q\lor P$
P and not Q	$P\land\neg Q$	直接翻译，是 $P\to Q$ 的否定

4. 对称差命题分析

定义： $X = A \cap B$, $Y = A \cup C$, $Z = A \oplus B = (A\cup B)\setminus(A\cap B)$。

恒真命题证明：

证明 $X\subseteq Y$： 对任意 $x\in X$，由定义 $x\in A\cap B$，故 $x\in A$。因为 $Y=A\cup C$，所以 $x\in Y$。证毕。
证明 $X\cap Z=\varnothing$： $X$ 的元素必须同时在 $A$ 和 $B$ 中。$Z$ 的元素必须在 $A$ 或 $B$ 但不同时在。这两个条件互斥，所以交集为空。

常见陷阱与反例：

命题 $Y\subseteq X\cup Z$ 不总为真。反例：$A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\}$。此时 $Y=\{1,3\}$，而 $X=\varnothing, Z=\{1,2\}$，故 $X\cup Z=\{1,2\}$。显然 $\{1,3\} \not\subseteq \{1,2\}$。

5. 解题策略

两大核心策略：

举例验证法 (Proof by Example):
- 何时用：快速排除错误选项，建立直觉。
- 方法：取最小最简单的集合，如 $A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{3\}$。
- 注意：举例成功不等于恒真，可能只是特例。
形式化证明/反例法 (Formal Proof/Counterexample):
- 何时用：需要 100% 确定命题恒真或恒假时。
- 方法：用集合定义和运算法则推导，或构造一个使其不成立的反例。
- 技巧：如果形式化证明走不通，很可能命题是假的，应立刻转向构造反例。

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