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MATH1131 代数笔记
第一至四周 - Weeks 1-4
Geometric Vectors, Dot Product, Cross Product & Complex Numbers
几何向量 (Geometric Vector): 是一个同时具有大小 (magnitude/length/norm) 和方向 (direction) 的量。你可以把它想象成一个有长度和指向的箭头。
- 向量的核心在于大小和方向，它的具体位置 (location) 并不重要。
- 向量相等 (Equal Vectors): 如果两个向量的大小和方向完全相同，那么它们就是相等的向量。
- 标量 (Scalar): 在线性代数中，一个标量就是一个实数，用来与向量进行区分。
向量的记法:
- 印刷体中常用粗体字母表示，如 u。
- 手写时，通常在字母上方加箭头（如 $\vec{u}$）或在下方加波浪线（如 $\tilde{u}$）。
- 从点A到点B的向量记作 $\overrightarrow{AB}$，其中A是起点/尾部 (tail/initial point)，B是终点/头部 (head/terminal point)。
- 向量的大小（或长度、模）记作 $|\mathbf{u}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。
向量加法有两种等效的几何定义：
- 三角形法则 (Triangle Law): 将两个向量首尾相接 (tip to tail)。将向量 $\mathbf{b}$ 的尾部移动到向量 $\mathbf{a}$ 的头部，然后从 $\mathbf{a}$ 的尾部画一个向量到 $\mathbf{b}$ 的头部，这个新的向量就是它们的和 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$。
- 平行四边形法则 (Parallelogram Law): 将两个向量的尾部放在同一点，以这两个向量为邻边构成一个平行四边形。从共同尾部出发的对角线所代表的向量就是它们的和。
零向量记作 $\mathbf{0}$。它是一个长度为零的向量，并且没有定义方向。
对于任何向量 $\mathbf{a}$，都有 $\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$。
- 负向量: 对于任意向量 $\mathbf{a}$，其负向量记作 $-\mathbf{a}$。它的大小与 $\mathbf{a}$ 相同，但方向恰好相反。
性质: $\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$
重要关系: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
向量减法: $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{b}+(-\mathbf{a})$
几何上，$\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 是从向量 $\mathbf{a}$ 的头部指向向量 $\mathbf{b}$ 的头部的向量。
将一个向量 $\mathbf{a}$ 乘以一个标量 $\lambda$，得到一个新的向量 $\lambda\mathbf{a}$。
平行向量 (Parallel Vectors): 如果一个向量是另一个非零向量的标量倍数，那么这两个向量是平行的。即 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 平行当且仅当存在标量 $\lambda$ 使得 $\mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}$。
位置向量 (Position Vector): 一个点的位置可以用从原点 (Origin) O 指向该点的向量来描述。点P的位置向量记作 $\overrightarrow{OP}$。
两点间的向量: 连接点A和点B的向量可以用它们的位置向量表示：
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$
线性组合 (Linear Combination): 一个向量 $\mathbf{v}$ 如果可以被表示为一组向量 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_k}$ 的标量倍数之和，那么 $\mathbf{v}$ 就是这组向量的一个线性组合。
$$\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}+...+\lambda_k\mathbf{v_k}$$
其中 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$ 是标量。
生成空间 (Span): 一组向量的所有可能的线性组合构成的集合，称为这组向量的生成空间。
span($\{\mathbf{v_1}\}$) (单个非零向量) 构成一条穿过原点的直线。span($\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\}$) (两个不平行的向量) 构成一张穿过原点的平面。
参数向量形式 (Parametric Vector Form): 描述一条直线需要一个点的位置向量 $\mathbf{a}$ 和一个方向向量 $\mathbf{v}$。
$$\mathbf{x}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{v}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$
其中 $\mathbf{x}$ 是直线上任意一点的位置向量，$\lambda$ 是参数。
笛卡尔方程 (Cartesian Equation):
在 $\mathbb{R}^3$ 中，可以写成：$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}=\frac{z-a_3}{v_3}$。这实际上是两个平面的交集。
例: 将参数方程 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ 转换为笛卡尔方程。
从参数方程我们得到：$x=1+\lambda, y=2+3\lambda, z=-5-\lambda$。
将每个方程中的 $\lambda$ 解出来：$\lambda=x-1, \lambda=\frac{y-2}{3}, \lambda=-(z+5)$。
令它们相等，得到笛卡尔方程：$x-1=\frac{y-2}{3}=-(z+5)$。
参数向量形式 (Parametric Vector Form): 描述一个平面需要一个点的位置向量 $\mathbf{a}$ 和两个不平行的方向向量 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}$。
$$\mathbf{x}=\mathbf{a}+\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}, \quad \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}$$
笛卡尔方程 (Cartesian Equation): 在 $\mathbb{R}^3$ 中，平面的方程通常写成 $ax+by+cz=d$ 的形式。
点积是向量乘法的一种，其结果是一个标量。
应用:
- 计算向量夹角: $\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
- 判断向量是否正交: 见下一周内容。
柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality):
$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$$
正交 (Orthogonal): 如果两个向量的点积为零，则称它们是正交的。记作 $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$。
$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$$
- 垂直 (Perpendicular): 对于两个非零向量，正交意味着它们之间的夹角为 $90°$ (即 $\pi/2$)。
- 正交集 (Orthogonal Set): 一组向量中，任意两个不同的向量都相互正交。
- 标准正交集 (Orthonormal Set): 一个正交集，并且其中所有向量都是单位向量 (unit vectors) (长度为1)。
优点: 如果 $\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_k}\}$ 是一个标准正交集，且 $\mathbf{u}=c_1\mathbf{v_1}+...+c_k\mathbf{v_k}$，那么系数可以直接通过点积求出：
$$c_i = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v_i}$$
向量 $\mathbf{a}$ 在非零向量 $\mathbf{b}$ 上的投影是一个与 $\mathbf{b}$ 平行的向量，代表了 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的分量。记作 $\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$。
投影公式:
$$\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\right)\mathbf{b}$$
括号内的部分 $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ 是投影的有符号长度。
应用: 求一个点到一条直线的
最短距离。
例: 求点 B 到由点 A 和方向向量 $\mathbf{v}$ 定义的直线的距离。
- 构造向量 $\overrightarrow{AB}$。
- 计算 $\overrightarrow{AB}$ 在方向向量 $\mathbf{v}$ 上的投影 $\text{proj}_{\mathbf{v}}\overrightarrow{AB}$。
- 求出垂直分量向量 $\mathbf{w} = \overrightarrow{AB} - \text{proj}_{\mathbf{v}}\overrightarrow{AB}$。
- 最短距离就是垂直分量向量的长度 $|\mathbf{w}|$。
叉积仅在 $\mathbb{R}^3$ 中有定义，其结果是一个向量。
定义: 设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$$
助记法 (Determinant Mnemonic):
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a_2b_3-a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3-a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2-a_2b_1)$$
标量三重积 (Scalar Triple Product):
- 表达式: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
- 几何意义: 其绝对值 $|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$ 是由向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 作为三个邻边构成的平行六面体 (parallelepiped) 的体积。
- 共面 (Coplanar): 如果三个向量的标量三重积为零，则这三个向量共面。
计算: 可以通过计算一个 $3 \times 3$ 行列式得到：
$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$
平面的点法式方程 (Point-Normal Form of a Plane):
一个平面可以由其上一个点 A (位置向量为 $\mathbf{a}$) 和一个垂直于该平面的法向量 (normal vector) $\mathbf{n}$ 唯一确定。
方程为：$$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$$
如果 $\mathbf{n}=(a,b,c)$，展开后即得到笛卡尔方程 $ax+by+cz=d$。这里的系数 $(a,b,c)$ 就是法向量的坐标。
为了解更复杂的方程，人类不断拓展数的概念：
- $x+5=3 \Rightarrow$ 需要整数 $\mathbb{Z}$ (Integers)。
- $3x=5 \Rightarrow$ 需要有理数 $\mathbb{Q}$ (Rational Numbers)。
- $x^2=2 \Rightarrow$ 需要实数 $\mathbb{R}$ (Real Numbers)。
- $x^2=-1 \Rightarrow$ 需要复数 $\mathbb{C}$ (Complex Numbers)。
域 (Field): 一个集合，带有加法和乘法运算，并满足一系列公理（如交换律、结合律、分配律，存在0和1，存在加法逆元和乘法逆元）。$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 都是域。
虚数单位 (Imaginary Unit): 定义 $i$ 为一个数，使其满足：
$$i^2 = -1$$
复数: 一个复数的形式为 $z = a + bi$，其中 $a,b$ 是实数。
- $a$ 称为实部 (real part)，记作 $\text{Re}(z)$。
- $b$ 称为虚部 (imaginary part)，记作 $\text{Im}(z)$。
复数运算时，可以把 $i$ 当作一个变量，但要随时记住 $i^2 = -1$。
加减法:
$$(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$
(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)
乘法:
$$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$$
例: $(3+2i)(5-4i) = 15-12i+10i-8i^2 = 15-2i-8(-1) = 23-2i$
引入复数后，所有系数为实数的二次方程 $az^2+bz+c=0$ 都有解。
例: 解方程 $z^2+2z+3=0$。
使用求根公式 $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$
$\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i$
所以解为 $z_1 = -1 + \sqrt{2}i$ 和 $z_2 = -1 - \sqrt{2}i$。
复平面 (Complex Plane / Argand Diagram): 用一个平面来表示复数。水平轴是实轴 (real axis)，代表实部；垂直轴是虚轴 (imaginary axis)，代表虚部。复数 $z=a+bi$ 对应于平面上的点 $(a,b)$。
模 (Modulus): 复数 $z=a+bi$ 的模记作 $|z|$，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
$$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$$
共轭 (Conjugate): 复数 $z=a+bi$ 的共轭记作 $\overline{z}$。
$$\overline{z} = a-bi$$
几何上，$\overline{z}$ 是 $z$ 关于实轴的对称点。
复数除法 (Division): 计算复数除法的技巧是，将分子 (numerator) 和分母 (denominator) 同时乘以分母的共轭复数，从而使分母变为实数。
$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$
例: 计算 $\frac{1-2i}{3+2i}$。
$\frac{1-2i}{3+2i} = \frac{(1-2i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{3-2i-6i+4i^2}{9+4} = \frac{3-8i-4}{13} = \frac{-1-8i}{13} = -\frac{1}{13} - \frac{8}{13}i$
极坐标形式 (Polar Form): 一个非零复数 $z=a+bi$ 也可以用它的大小（模）$r$ 和它与正实轴的夹角 $\theta$ 来表示。
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
- $r = |z|$ 是模。
- $\theta$ 称为辐角 (argument)，记作 $\arg(z)$。辐角不是唯一的，可以相差 $2\pi$ 的整数倍。
- 主辐角 (Principal Argument)，记作 $\text{Arg}(z)$，是唯一的辐角，满足 $-\pi < \text{Arg}(z) \leq \pi$。
例: 将 $z = 1 + \sqrt{3}i$ 转换为极坐标形式。
- 计算模: $r = |z| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$。
- 计算辐角: $\cos\theta = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}$ 且 $\sin\theta = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。满足条件的 $\theta$ 是 $\frac{\pi}{3}$。
- 所以极坐标形式为: $z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$。
欧拉公式 (Euler's Formula): 这是连接复指数和三角函数的桥梁。
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
指数形式 (Exponential Form): 结合极坐标形式和欧拉公式，得到复数的指数形式。
$$z = re^{i\theta}$$
对于上面的例子，$z = 1 + \sqrt{3}i$ 的指数形式为 $z = 2e^{i\pi/3}$。